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EJEMPLOS:


Tipo potencial: forma simple












  • Combinando la integral inmediata de tipo potencial con las propiedades lineales de la integral indefinida, podemos integrar funciones de tipo polinómico:










Vemos que el proceso de integración lo hemos aplicado a las funciones potenciales dejando los coeficientes al margen del proceso. Sin embargo, no hace falta dar todos los pasos como en el ejemplo anterior, sino que se puede y se debe integrar directamente como en el siguiente ejemplo:















Tipo potencial: forma compuesta.

















Tipo logarítmico:
















Tipo exponencial:




















Tipo trigonométrico (seno, coseno, tangente, ....)





































Tipo arco seno, arco tangente,....



























^ MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.

Dada una integral se debe reconocer primero si se adapta a uno de los tipos fundamentales o si se puede reducir a alguno de ellos haciendo transformaciones elementales; en caso contrario, habrá que aplicar otros procedimientos para su cálculo que reciben el nombre de ^ MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.


MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.


Es una consecuencia directa de la derivación de funciones compuestas.

Como su nombre indica, se trata de sustituir la variable "x" por una función de otra variable "t", x = g(t), de forma que el integrando se transforme en otro más sencillo.

Este proceso puede hacerse de dos formas:

  • ^ FORMA DIRECTA


Se hace de donde Sustituyendo en la integral, nos queda:




  • ^ FORMA RECÍPROCA


Se hace de donde y se despeja a continuación x y dx para sustituirlos en la integral.

Para terminar el proceso se calcula la integral en la nueva variable y después se deshace el cambio.

Es evidente que si la integral resultante del cambio es más complicada que la de partida, el cambio realizado no es el adecuado y debemos buscar otro.


NOTA: Siempre que se pueda debemos de evitar emplear este método y utilizar los tipos fundamentales.


EJEMPLOS.


  • Calcula


Hacemos la sustitución

Calculamos la diferencial de x: y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:









  • Calcula

Hacemos el cambio

Calculamos la diferencial de x: y sustituimos



Se podría resolver la integral directamente, sin necesidad de utilizar el método de sustitución, empleando la fórmula de integración de funciones potenciales en su forma compuesta:








Hacemos el cambio y calculamos la diferencial de x. Tendremos:



Sustituyendo en la integral nos queda:



Directamente:






Hacemos la sustitución

Calculamos la diferencial de x: y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:





^ MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.


El método de integración por partes se basa en la derivada del producto de funciones. A partir de él trataremos de buscar una regla que nos permita calcular la integral de un producto de funciones.

Consideremos dos funciones y de variable x, ambas derivables. La diferencial del producto será:



Integrando ambos miembros, obtenemos:





que es la fórmula de integración por partes.


En el momento de aplicar esta fórmula de integración por partes deberemos de tener cuidado en el momento de elegir a qué llamamos "u" y a qué "dv". Si la integral que queda, después de aplicar dicha fórmula, es más complicada que la de partida, significa que habrá que cambiar nuestra elección.

En algunas ocasiones la integral que queda después de aplicar la fórmula de integración por partes, es del mismo tipo que la de partida y tendríamos que volver a aplicar el método.

En otras ocasiones, después de aplicar la integración por partes una o dos veces, puede ocurrir que obtengamos la misma integral de partida. En este caso, basta despejar la integral para obtener la primitiva.


EJEMPLOS:




Si hacemos obtenemos:

Aplicando la fórmula de integración por partes, resulta:




  • En ocasiones el método de integración por partes no es tan directo como podría parecer observando el ejemplo anterior, sino que llegamos al resultado final después de aplicar dos o más veces dicho método:



Hacemos el cambio

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes nos queda:



En la nueva integral que nos ha resultado, volvemos a aplicar el método de partes; hacemos:



y sustituimos








Hacemos

y sustituimos en la fórmula de integración por partes:



La integral que nos queda, después de aplicar partes, es del mismo tipo que la que queremos calcular. En consecuencia, volvemos a aplicar el mismo procedimiento.

En ella hacemos:



y sustituimos nuevamente:





Nos ha vuelto ha quedar la misma integral del principio. Entonces, pasando al primer miembro nos queda:






Hacemos el siguiente cambio:

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:




^ EJERCICIOS PROPUESTOS.


  • Calcula las integrales indefinidas de las siguientes funciones:





























^ INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.


Una función racional es un cociente de dos polinomios, es decir, es de la forma: donde son dos polinomios en x.

Las funciones racionales están definidas en todo el conjunto de números reales salvo en los que se anula el denominador.

Ante la integral de una función racional, lo primero que debemos comprobar es que no se puedan aplicar los tipos fundamentales que contengan funciones de este tipo, a saber:








Cuando no se puedan aplicar los tipos anteriores, las funciones racionales se integran por el método de transformación en fracciones simples que tendrán por denominador polinomios de primer o segundo grado irreducibles.

En todo el proceso de integración racional mediante fracciones simples supondremos que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, pues en caso contrario podemos dividir y obtendríamos



dividiendo entre Q(x) nos queda:




y la integración se reduce a integrar un polinomio C(x) (que será inmediata) y a la función racional con el grado del numerador menor que el del denominador.
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