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^

Para integrar una función de este tipo utilizaremos el



MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES.


Este método consta de tres partes bien diferenciadas:

  1. Cálculo de las raíces del denominador (descomposición en factores del denominador).

  2. Descomposición de la función en suma de fracciones simples.

  3. Integración de los sumandos.

Consideremos la función donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador y sigamos los pasos indicados anteriormente:

  1. La descomposición en factores del denominador se efectuará por los métodos conocidos en cursos anteriores (Regla de Ruffini, si el polinomio es de grado mayor que dos).

Supongamos que el polinomio Q(x) tiene las siguientes raíces (k raíces reales y 2s raíces complejas, que serán conjugadas dos a dos)

Raíces reales:

(grado de multiplicidad de la raíz)



.......................................



Raíces complejas:





..............................................................



  1. En este caso la función racional se puede descomponer en fracciones simples de la siguiente forma:



Sumando las fracciones en cuyos denominadores aparecen raíces complejas conjugadas, nos queda:




Podemos observar que por cada raíz aparecen tantas fracciones como indica su grado de multiplicidad (número de veces que se presenta una raíz): los numeradores de dichas fracciones son coeficientes indeterminados y los denominares son de la forma elevando dicha diferencia desde uno hasta el grado de multiplicidad.

^ El procedimiento para calcular los coeficientes indeterminados lo veremos con algunos ejemplos.

La integración de nuestra función racional será la suma de las integrales de cada una de las fracciones simples:


  1. La integración de las fracciones simples en que se ha descompuesto la función racional se hace mediante los tipos antes vistos:

  • Las que tienen exponente unidad en el denominador son logaritmos neperianos



  • Otras son de tipo potencial:



  • Y un tercer tipo correspondiente a las raíces complejas de la forma



en cuya resolución aparecerán, en general, un logaritmo y un arco tangente. Veamos como podemos resolver esta integral:
















EJEMPLOS:


  • Calcular

Resolución:

  1. Calculamos las raíces del denominador, resolviendo la ecuación:





  1. Descomponemos la función del integrando en fracciones simples, de la forma:



  1. Puesto que los denominadores son iguales, para que las fracciones sean iguales tendrán que ser iguales los numeradores. Por tanto:



  1. Para calcular los coeficientes A y B se podrán emplear distintos métodos:

  1. ^ IDENTIFICACIÓN DE COEFICIENTES

Para aplicar este método, ordenamos el polinomio que aparece con coeficientes indeterminados:



e identificamos los coeficientes de igual potencia de x, resolviendo el sistema que nos resulta:



  1. ^ VALORES NUMÉRICOS

En la expresión anterior, se le asignan valores a la indeterminada x, tantos como coeficientes indeterminados tengamos, obteniéndose de esta manera un sistema de tantas ecuaciones como coeficientes tengamos que calcular. Resolviendo este sistema obtendríamos los coeficientes buscados.

El sistema que se obtiene por este procedimiento, se simplifica si los valores que damos a la indeterminada x son los mismos que los de las raíces del denominador. En el caso de que hubiese más coeficientes que raíces ya le asignamos los valores que queramos:










  1. Obtenidos los coeficientes, podemos pasar a integrar la función dada:






  • Calcular:

Puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, debemos dividir numerador entre denominador obteniendo la siguiente descomposición:



aplicando el método de integración racional a la fracción resultante:


a) Descomponemos en fracciones simples:



de donde:

  1. Dando valores a la indeterminada:









c) Entonces, calculamos la integral:








  • Calcula:

Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, aplicamos directamente el método de descomposición en fracciones simples.

  1. Calculamos las raíces del denominador:



  1. Hemos obtenido una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. Por tanto, la descomposición en fracciones simples nos queda de la forma:



Al ser los denominadores iguales, tendrán que serlo también los numeradores:



Dando valores a la indeterminada, obtenemos:





  1. Obtenido el valor de los parámetros, pasamos a calcular la integral:


















EJERCICIOS.





















^ INTEGRACIÓN POR REDUCCIÓN DEL INTEGRANDO.


La integración indefinida de algunas funciones puede resultar más fácil y cómoda si mediante un adecuado cambio de variable podemos reducirlas a funciones cuya integración ya conocemos. Veamos algunos casos interesantes:


  • ^ Integración de funciones de

Para integrar este tipo de funciones se hace el cambio de variable que transforma el integrando en una función de la variable t.

Ejemplos:




Hacemos el cambio con lo que

Sustituyendo en la integral, nos queda de la forma:








Hacemos el cambio con lo que

Sustituyendo en la integral, nos queda de la forma:






  • Integración de funciones con potencias de exponente fraccionario.


Para calcular integrales del tipo se efectúa el cambio de variable donde


Ejemplo:



Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales: y hacemos el cambio Sustituyendo en nuestra integral, nos queda:



Teniendo en cuenta que con lo cual:






^ INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.


La mayor parte de las integrales de funciones trigonométricas pueden resolverse haciendo transformaciones en el integrando teniendo en cuenta las identidades vistas en el curso anterior, algunas de las cuales recordamos a continuación:
























EJEMPLOS.
























































^ INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES:


R designa una función racional en y Este tipo de integrales puede reducirse a racionales mediante un simple cambio de variable.

Las sustituciones más frecuentes son:


  • Si R es una función impar de es decir: realizaremos la sustitución

  • Si R es una función impar en es decir: haremos la sustitución

  • Si no cambia cuando se cambia a la vez por y por se racionaliza mediante la sustitución

  • En todos los casos la función se puede racionalizar mediante la sustitución de donde


Ejemplos.




Haciendo el cambio tendremos:









Hacemos el cambio con lo que la integral nos queda:










Hacemos el cambio y la integral nos queda:










Realizamos la sustitución general de donde , y con lo que nos queda:










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